概要

カットオフ周波数 1 のローパスフィルタを設計すれば、 ある変換ルールを用いて任意のローパス・ハイパス・バンドパス・バンドストップフィルタを設計できます。

また、アナログ的手法で設計したフィルタをディジタル化 （アナログ伝達関数をディジタル伝達関数に変換）することができます。

アナログ→アナログ

執筆予定

・アナログ

カットオフ周波数 1 のローパスから、

カットオフ周波数 ω0 のローパス
s → s / ω0
↑
これは、区間 (－ω0, ω0) を (－1, 1) に移す写像。

カットオフ周波数 ω0 のハイパス
s → ω0 / s
↑
これは、区間 (－∞, －ω0), (ω0, ∞) を (－1, 1) に移す写像。

中心周波数 ω0、バンド幅 Δω のバンドパス
s → Δω s / (s2 ＋ ω02)
↑
これは、区間 (ω0－Δω/2, ω0＋Δω/2) を (－1, 1) に移す写像。

中心周波数 ω0、バンド幅 Δω のバンドストップ
s → (s2 ＋ ω02) / (Δω s)


・双2次バンドパスフィルタの零・極

双2次フィルタの一般形は

s2 ＋ c s ＋ d
-------------------------
s2 ＋ a s ＋ b

分母分子共に、共役複素解を持つものとして、

(s － β) (s － β*)
--------------------
(s － α) (s － α*)

これを元に、バンドパスフィルタ化するために、
s → Δω s / (s2 ＋ ω02)
で変数変換すると、
極は以下のように変換される。

α ± √(α2 － (ω0 / Δω)2)
----------------------- ,
2 Δω

α* ± √(α*2 － (ω0 / Δω)2)
-----------------------
2 Δω


α ＋ √(α2 － (ω0 / Δω)2)
-----------------------
2 Δω
と
α* － √(α*2 － (ω0 / Δω)2)
-----------------------
2 Δω
が互いに共役。

元々の極 α を α ＝ a ＋ ib で表すと、
変換後の極 α' は

α' ＝ a ＋ ib ± √(a2 － b2 － ω2 ＋ i2ab)
       -----------------------------------
       2Δω
（ω ＝ ω0/Δω）

√(a2 － b2 － ω2 ＋ i2ab) の部分を c ＋ id、
D ＝ a2 － b2 － ω2 と置くと、

c ＝ √(√(D2 ＋ 4) ＋ D)
d ＝ √(√(D2 ＋ 4) － D)

アナログ→ディジタル

執筆予定

インパルス不変法
双一次変換
双一次変換は別ページで詳しく（双1次変換 bilineartrans.xml ）。