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δ関数のフーリエ変換

δ関数および指数関数のフーリエ変換は以下のようになります。

[δ(t ± T)] (ω)exp(±i Tω)
[ exp (±i ω0 t) ] (ω) = 2π δ(ω ± ω0)

δ関数級数

離散関数を取り扱う際、以下のようにδ関数を等間隔で並べた級数δTがしばしば用いられます。

δT(t)
k=-∞
δ(t - kT)

この級数δTは、周期Tの周期関数となるので、フーリエ級数展開可能です。 cn

1
T

 T/2
 
-T/2
δT(t)exp(-iω0nt)dt = 1 となるので、 級数δTのフーリエ級数展開は以下のようになります。

δT(t)
k=-∞
δ(t - kT)
1
T
n=-∞
exp(0 n t)

ただし、ω0

T
です。

また、この結果と指数関数のフーリエ変換の公式から、 級数δTのフーリエ変換を求めると以下のようになります。

[ δT(t)] (ω)[
1
T
n=-∞
exp(0 n t)](ω)
T
n=-∞
δ(ω - nω0) = ω0
n=-∞
δ(ω - nω0)

信号処理の分野では、δ関数で表される信号をインパルス、 級数δTで表される信号をインパルス列と呼びます。

sinc関数

以下のようにして定義された関数sinc xsinc 関数と呼びます。

sinc x =
sin x
x

sinc 関数は以下のような性質を持ちます。

  • sinc 0 = 1

  • nを非0整数とすると、sinc πn = 0

  • [ sinc ω0 t] (ω){

    1  (|ω|≦ω0)
    0  (|ω|>ω0)

  • sinc ω0 t =

     ω0
     
    -ω0
    exp(iωt)dω

  • δ(t)

lim
ω0→∞

sinc ω0 t

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